#514. 自由之路

• LeetCode：原题1
• 难度：困难
• 归类：二叉树+BFS（深度优先搜索、广度优先搜索、字符串、动态规划）
• 主解法：动态规划

#先给结论

这道题的核心是把原问题拆成有依赖关系的子问题，保存子问题答案以避免重复计算。面试时先说清楚“状态表示什么、为什么能排除其他候选、何时更新答案”，再写代码；只报出“用 动态规划”还不足以证明理解。

#题目描述

题目要求完成“自由之路”。输入包括 ring（string）、key（string），需要返回 integer。完整限制以原题为准，解题时重点利用这些特征：深度优先搜索、广度优先搜索、字符串、动态规划。

示例：

输入：: ring = "godding", key = "gd"
输出：: 4
解释：:
对于 key 的第一个字符 'g'，已经在正确的位置, 我们只需要1步来拼写这个字符。
对于 key 的第二个字符 'd'，我们需要逆时针旋转 ring "godding" 2步使它变成 "ddinggo"。
当然, 我们还需要1步进行拼写。
因此最终的输出是 4。

#问题本质

把原问题拆成有依赖关系的子问题，保存子问题答案以避免重复计算。需要解决的不是某个 API 的用法，而是如何用最少状态描述“已经处理什么、还剩什么”，并证明状态推进不会漏解。

#数据结构与因果链

1. 输入进入算法后，先建立 动态规划 所需的状态。
2. 状态表示处理到某个位置、区间或选择状态时能够得到的最优值或方案数。
3. 枚举当前选择，由已知状态通过转移方程更新下一状态或当前最优值。
4. 满足终止条件后，把已经验证的状态转换成输出。

始终保持：计算当前状态时，它依赖的更小状态已经按遍历顺序计算完成。

#示例推演

输入：: ring = "godding", key = "gd"
输出：: 4
解释：:
对于 key 的第一个字符 'g'，已经在正确的位置, 我们只需要1步来拼写这个字符。
对于 key 的第二个字符 'd'，我们需要逆时针旋转 ring "godding" 2步使它变成 "ddinggo"。
当然, 我们还需要1步进行拼写。
因此最终的输出是 4。

#边界与陷阱

• 空输入、单元素、重复元素以及不存在合法答案时，要有明确返回值。
• 最容易错在状态定义含糊、初始化与定义不一致，以及一维压缩后的遍历方向错误。
• 如果实现会修改输入，面试时要主动说明；如果不能修改，则复制数据或改用额外结构。

#代码实现

参考实现来源：JoshCrozier/leetcode-javascript，按本文结构重新整理；原项目采用 MIT License。

#JavaScript 实现

/**
 * @param {string} ring
 * @param {string} key
 * @return {number}
 */
var findRotateSteps = function(ring, key) {
  const map = new Map();
  return dp(0, 0);

  function dp(ringIndex, keyIndex) {
    if (keyIndex === key.length) return 0;
    const state = `${ringIndex},${keyIndex}`;
    if (map.has(state)) return map.get(state);
    let minSteps = Infinity;
    for (let i = 0; i < ring.length; i++) {
      if (ring[i] === key[keyIndex]) {
        const distance = Math.abs(i - ringIndex);
        const steps = Math.min(distance, ring.length - distance);
        minSteps = Math.min(minSteps, steps + 1 + dp(i, keyIndex + 1));
      }
    }
    map.set(state, minSteps);
    return minSteps;
  }
};

#代码与思路对照

读代码时应把每个判断还原成“它排除了什么状态或完成了哪次转移”，而不是只记变量名。

#复杂度分析

• 时间复杂度：O(S × T)，S 为状态数量，T 为单次转移成本。
• 空间复杂度：O(n)，用于辅助状态或递归栈。

复杂度必须按“状态数量 × 每个状态处理成本”分析；如果存在排序、堆操作、递归深度或结果数组，需要单独计入，不能只看最外层循环。

#面试官递进追问

#1. 为什么本题适合 动态规划？

因为把原问题拆成有依赖关系的子问题，保存子问题答案以避免重复计算。 为什么问： 检查你是在识别性质，还是只凭题号背模板。回答要抓住可被利用的单调性、重复子问题或数据结构约束。

#2. 代码维护的核心状态是什么？

状态表示处理到某个位置、区间或选择状态时能够得到的最优值或方案数。 为什么问： 状态定义决定代码是否可证明。回答时要让每个变量都能对应到题意。

#3. 这个实现依赖什么不变量？

计算当前状态时，它依赖的更小状态已经按遍历顺序计算完成。 为什么问： 不变量比逐行复述代码更能证明理解，回答要说明它在初始化、推进和结束时都成立。

#4. 为什么这样推进不会漏掉答案？

枚举当前选择，由已知状态通过转移方程更新下一状态或当前最优值，被跳过的状态已经由题目性质证明不可能更优或已经处理完成。 为什么问： 检查正确性证明，重点不是“指针这样写”，而是“为什么可以排除”。

#5. 最危险的边界是什么？

最容易错在状态定义含糊、初始化与定义不一致，以及一维压缩后的遍历方向错误。 为什么问： 检查代码能否一次通过，回答要给出具体失败场景而不是只说“注意边界”。

#6. 复杂度还能优化吗？

先看瓶颈来自状态数量、每次转移成本还是辅助结构操作；只有其中一项能被减少时，复杂度才可能继续下降。 为什么问： 检查你能否从成本组成出发优化，而不是机械背最优复杂度。

#7. 如果输入规模扩大或数据改成流式，方案怎么变？

要判断当前算法是否需要随机访问全部输入；若只依赖有限历史状态，可以做滚动或在线维护，否则需要分块、外存或调整数据结构。 为什么问： 检查算法理解能否迁移到工程约束。

#8. 有哪些替代解法，如何取舍？

可以从暴力枚举开始，再比较排序、哈希、搜索或动态规划等方案；取舍标准是时间、空间、是否修改输入和实现复杂度。 为什么问： 检查横向比较能力。回答要说明替代方案为什么更慢或在什么条件下更合适。

#常见错误回答

• “这题套 动态规划 模板即可”：只有结论，没有说明题目性质和排除依据。
• 逐行朗读代码：没有建立状态、不变量和正确性因果链。
• 只报 O(n) 或 O(n²)：没有解释每个状态被访问多少次，也容易漏掉排序或辅助结构。
• 把示例能跑通当成证明：示例只能帮助检查，不能覆盖重复值、空输入和极端边界。

#可迁移总结

• 核心关键词：动态规划、状态定义、不变量、推进规则、边界。
• 一句话本质：把原问题拆成有依赖关系的子问题，保存子问题答案以避免重复计算。
• 思考链路：识别题目性质 → 定义状态 → 证明推进安全 → 确定更新时机 → 检查边界与复杂度。
• 1 分钟回答：说清题型、核心状态、推进规则和复杂度。
• 3 分钟回答：补上正确性依据、示例和两个关键边界。
• 10 分钟回答：写出代码，并比较替代方案、空间优化和工程限制。

#刷题后自测

先只回答第 1 题，再展开后续问题：

1. 不看代码，你能用一句话说出本题的不变量吗？

2. 如果把示例中的重复值、空输入或边界值换掉，哪一行代码最先受到影响？

3. 不改变正确性的前提下，你能写出一种替代方案并比较复杂度吗？