#1998. 数组的最大公因数排序

• LeetCode：原题1
• 难度：困难
• 归类：数据结构（并查集、数组、数学、数论、排序）
• 主解法：方法一

#先给结论

这道题的核心是用父节点森林维护动态连通分量，通过路径压缩和按秩合并降低查询成本。面试时先说清楚“状态表示什么、为什么能排除其他候选、何时更新答案”，再写代码；只报出“用 并查集”还不足以证明理解。

#题目描述

题目要求完成“数组的最大公因数排序”。输入包括 nums（integer[]），需要返回 boolean。完整限制以原题为准，解题时重点利用这些特征：并查集、数组、数学、数论、排序。

示例：

输入：nums = [7,21,3]
输出：true
解释：可以执行下述操作完成对 [7,21,3] 的排序：
- 交换 7 和 21 因为 gcd(7,21) = 7 。nums = [21,7,3]
- 交换 21 和 3 因为 gcd(21,3) = 3 。nums = [3,7,21]

#问题本质

用父节点森林维护动态连通分量，通过路径压缩和按秩合并降低查询成本。需要解决的不是某个 API 的用法，而是如何用最少状态描述“已经处理什么、还剩什么”，并证明状态推进不会漏解。

#数据结构与因果链

1. 输入进入算法后，先建立 并查集 所需的状态。
2. parent 表示代表元关系，size 或 rank 记录合并时的结构信息。
3. 对需要连通的元素执行 union，查询关系时先 find 到各自根节点。
4. 满足终止条件后，把已经验证的状态转换成输出。

始终保持：同一集合中的元素最终拥有相同根节点，根节点的 parent 指向自身。

#示例推演

输入：nums = [7,21,3]
输出：true
解释：可以执行下述操作完成对 [7,21,3] 的排序：
- 交换 7 和 21 因为 gcd(7,21) = 7 。nums = [21,7,3]
- 交换 21 和 3 因为 gcd(21,3) = 3 。nums = [3,7,21]

#边界与陷阱

• 空输入、单元素、重复元素以及不存在合法答案时，要有明确返回值。
• 最容易错在没有路径压缩、合并根节点时方向写反，以及连通块计数更新错误。
• 如果实现会修改输入，面试时要主动说明；如果不能修改，则复制数据或改用额外结构。

#代码实现

参考实现来源：JoshCrozier/leetcode-javascript，按本文结构重新整理；原项目采用 MIT License。

#JavaScript 实现

/**
 * @param {number[]} nums
 * @return {boolean}
 */
var gcdSort = function(nums) {
  const maxNum = Math.max(...nums);
  const parent = new Array(maxNum + 1).fill().map((_, i) => i);
  const minPrime = new Array(maxNum + 1).fill(0);
  for (let i = 2; i <= maxNum; i++) {
    if (minPrime[i] === 0) {
      for (let j = i; j <= maxNum; j += i) {
        minPrime[j] = i;
      }
    }
  }

  const groups = new Map();
  for (const num of nums) {
    let curr = num;
    const primes = new Set();
    while (curr > 1) {
      const prime = minPrime[curr];
      primes.add(prime);
      curr /= prime;
    }
    for (const prime of primes) {
      if (!groups.has(prime)) groups.set(prime, []);
      groups.get(prime).push(num);
    }
  }

  for (const numbers of groups.values()) {
    for (let i = 1; i < numbers.length; i++) {
      union(numbers[i - 1], numbers[i], parent);
    }
  }

  const sorted = [...nums].sort((a, b) => a - b);
  for (let i = 0; i < nums.length; i++) {
    if (find(nums[i], parent) !== find(sorted[i], parent)) {
      return false;
    }
  }

  return true;

  function find(x, parent) {
    if (parent[x] !== x) parent[x] = find(parent[x], parent);
    return parent[x];
  }

  function union(x, y, parent) {
    parent[find(x, parent)] = find(y, parent);
  }
};

#代码与思路对照

读代码时应把每个判断还原成“它排除了什么状态或完成了哪次转移”，而不是只记变量名。

#复杂度分析

• 时间复杂度：O((V + E) α(V))，α 为反阿克曼函数。
• 空间复杂度：O(n)，用于辅助状态或递归栈。

复杂度必须按“状态数量 × 每个状态处理成本”分析；如果存在排序、堆操作、递归深度或结果数组，需要单独计入，不能只看最外层循环。

#面试官递进追问

#1. 为什么本题适合 并查集？

因为用父节点森林维护动态连通分量，通过路径压缩和按秩合并降低查询成本。 为什么问： 检查你是在识别性质，还是只凭题号背模板。回答要抓住可被利用的单调性、重复子问题或数据结构约束。

#2. 代码维护的核心状态是什么？

parent 表示代表元关系，size 或 rank 记录合并时的结构信息。 为什么问： 状态定义决定代码是否可证明。回答时要让每个变量都能对应到题意。

#3. 这个实现依赖什么不变量？

同一集合中的元素最终拥有相同根节点，根节点的 parent 指向自身。 为什么问： 不变量比逐行复述代码更能证明理解，回答要说明它在初始化、推进和结束时都成立。

#4. 为什么这样推进不会漏掉答案？

对需要连通的元素执行 union，查询关系时先 find 到各自根节点，被跳过的状态已经由题目性质证明不可能更优或已经处理完成。 为什么问： 检查正确性证明，重点不是“指针这样写”，而是“为什么可以排除”。

#5. 最危险的边界是什么？

最容易错在没有路径压缩、合并根节点时方向写反，以及连通块计数更新错误。 为什么问： 检查代码能否一次通过，回答要给出具体失败场景而不是只说“注意边界”。

#6. 复杂度还能优化吗？

先看瓶颈来自状态数量、每次转移成本还是辅助结构操作；只有其中一项能被减少时，复杂度才可能继续下降。 为什么问： 检查你能否从成本组成出发优化，而不是机械背最优复杂度。

#7. 如果输入规模扩大或数据改成流式，方案怎么变？

要判断当前算法是否需要随机访问全部输入；若只依赖有限历史状态，可以做滚动或在线维护，否则需要分块、外存或调整数据结构。 为什么问： 检查算法理解能否迁移到工程约束。

#8. 有哪些替代解法，如何取舍？

可以从暴力枚举开始，再比较排序、哈希、搜索或动态规划等方案；取舍标准是时间、空间、是否修改输入和实现复杂度。 为什么问： 检查横向比较能力。回答要说明替代方案为什么更慢或在什么条件下更合适。

#常见错误回答

• “这题套 并查集 模板即可”：只有结论，没有说明题目性质和排除依据。
• 逐行朗读代码：没有建立状态、不变量和正确性因果链。
• 只报 O(n) 或 O(n²)：没有解释每个状态被访问多少次，也容易漏掉排序或辅助结构。
• 把示例能跑通当成证明：示例只能帮助检查，不能覆盖重复值、空输入和极端边界。

#可迁移总结

• 核心关键词：并查集、状态定义、不变量、推进规则、边界。
• 一句话本质：用父节点森林维护动态连通分量，通过路径压缩和按秩合并降低查询成本。
• 思考链路：识别题目性质 → 定义状态 → 证明推进安全 → 确定更新时机 → 检查边界与复杂度。
• 1 分钟回答：说清题型、核心状态、推进规则和复杂度。
• 3 分钟回答：补上正确性依据、示例和两个关键边界。
• 10 分钟回答：写出代码，并比较替代方案、空间优化和工程限制。

#刷题后自测

先只回答第 1 题，再展开后续问题：

1. 不看代码，你能用一句话说出本题的不变量吗？

2. 如果把示例中的重复值、空输入或边界值换掉，哪一行代码最先受到影响？

3. 不改变正确性的前提下，你能写出一种替代方案并比较复杂度吗？