#304. 二维区域和检索 - 矩阵不可变

• LeetCode：原题1
• 难度：中等
• 归类：数据结构（设计、数组、矩阵、前缀和）
• 主解法：二维前缀和

#先给结论

这道题的核心是预处理从起点到各位置的累计量，把区间查询转成两个前缀状态之差。面试时先说清楚“状态表示什么、为什么能排除其他候选、何时更新答案”，再写代码；只报出“用 前缀和”还不足以证明理解。

#题目描述

题目要求完成“二维区域和检索 - 矩阵不可变”。输入包括 inputs（integer[]）、inputs（integer[]），需要返回 list<String>。完整限制以原题为准，解题时重点利用这些特征：设计、数组、矩阵、前缀和。

示例：

输入：:
["NumMatrix","sumRegion","sumRegion","sumRegion"]
[[[[3,0,1,4,2],[5,6,3,2,1],[1,2,0,1,5],[4,1,0,1,7],[1,0,3,0,5]]],[2,1,4,3],[1,1,2,2],[1,2,2,4]]
输出：:
[null, 8, 11, 12]
解释：:
NumMatrix numMatrix = new NumMatrix([[3,0,1,4,2],[5,6,3,2,1],[1,2,0,1,5],[4,1,0,1,7],[1,0,3,0,5]]);
numMatrix.sumRegion(2, 1, 4, 3); // return 8 (红色矩形框的元素总和)
numMatrix.sumRegion(1, 1, 2, 2); // return 11 (绿色矩形框的元素总和)
numMatrix.sumRegion(1, 2, 2, 4); // return 12 (蓝色矩形框的元素总和)

#问题本质

预处理从起点到各位置的累计量，把区间查询转成两个前缀状态之差。需要解决的不是某个 API 的用法，而是如何用最少状态描述“已经处理什么、还剩什么”，并证明状态推进不会漏解。

#数据结构与因果链

1. 输入进入算法后，先建立 前缀和 所需的状态。
2. prefix[i] 表示前 i 个元素的累计结果，区间结果由两个边界前缀组合得到。
3. 先构造前缀信息，再按题意查询、计数或结合哈希表寻找目标差值。
4. 满足终止条件后，把已经验证的状态转换成输出。

始终保持：prefix 的下标含义固定，通常 prefix[0] 代表空前缀。

#示例推演

输入：:
["NumMatrix","sumRegion","sumRegion","sumRegion"]
[[[[3,0,1,4,2],[5,6,3,2,1],[1,2,0,1,5],[4,1,0,1,7],[1,0,3,0,5]]],[2,1,4,3],[1,1,2,2],[1,2,2,4]]
输出：:
[null, 8, 11, 12]
解释：:
NumMatrix numMatrix = new NumMatrix([[3,0,1,4,2],[5,6,3,2,1],[1,2,0,1,5],[4,1,0,1,7],[1,0,3,0,5]]);
numMatrix.sumRegion(2, 1, 4, 3); // return 8 (红色矩形框的元素总和)
numMatrix.sumRegion(1, 1, 2, 2); // return 11 (绿色矩形框的元素总和)
numMatrix.sumRegion(1, 2, 2, 4); // return 12 (蓝色矩形框的元素总和)

#边界与陷阱

• 空输入、单元素、重复元素以及不存在合法答案时，要有明确返回值。
• 最容易错在前缀下标偏移、遗漏空前缀，以及数值范围超出安全整数。
• 如果实现会修改输入，面试时要主动说明；如果不能修改，则复制数据或改用额外结构。

#代码实现

参考实现来源：doocs/leetcode，按本文结构重新整理；原项目采用 CC BY-SA 4.0。

#JavaScript 实现

var NumMatrix = function (matrix) {
    const m = matrix.length;
    const n = matrix[0].length;
    this.s = new Array(m + 1).fill(0).map(() => new Array(n + 1).fill(0));
    for (let i = 0; i < m; ++i) {
        for (let j = 0; j < n; ++j) {
            this.s[i + 1][j + 1] =
                this.s[i + 1][j] + this.s[i][j + 1] - this.s[i][j] + matrix[i][j];
        }
    }
};

/**
 * @param {number} row1
 * @param {number} col1
 * @param {number} row2
 * @param {number} col2
 * @return {number}
 */
NumMatrix.prototype.sumRegion = function (row1, col1, row2, col2) {
    return (
        this.s[row2 + 1][col2 + 1] -
        this.s[row2 + 1][col1] -
        this.s[row1][col2 + 1] +
        this.s[row1][col1]
    );
};

/**
 * Your NumMatrix object will be instantiated and called as such:
 * var obj = new NumMatrix(matrix)
 * var param_1 = obj.sumRegion(row1,col1,row2,col2)
 */

#代码与思路对照

读代码时应把每个判断还原成“它排除了什么状态或完成了哪次转移”，而不是只记变量名。

#复杂度分析

• 时间复杂度：O(m × n)，查询的时间复杂度为 O(1)。
• 空间复杂度：O(m × n)。

复杂度必须按“状态数量 × 每个状态处理成本”分析；如果存在排序、堆操作、递归深度或结果数组，需要单独计入，不能只看最外层循环。

#面试官递进追问

#1. 为什么本题适合 前缀和？

因为预处理从起点到各位置的累计量，把区间查询转成两个前缀状态之差。 为什么问： 检查你是在识别性质，还是只凭题号背模板。回答要抓住可被利用的单调性、重复子问题或数据结构约束。

#2. 代码维护的核心状态是什么？

prefix[i] 表示前 i 个元素的累计结果，区间结果由两个边界前缀组合得到。 为什么问： 状态定义决定代码是否可证明。回答时要让每个变量都能对应到题意。

#3. 这个实现依赖什么不变量？

prefix 的下标含义固定，通常 prefix[0] 代表空前缀。 为什么问： 不变量比逐行复述代码更能证明理解，回答要说明它在初始化、推进和结束时都成立。

#4. 为什么这样推进不会漏掉答案？

先构造前缀信息，再按题意查询、计数或结合哈希表寻找目标差值，被跳过的状态已经由题目性质证明不可能更优或已经处理完成。 为什么问： 检查正确性证明，重点不是“指针这样写”，而是“为什么可以排除”。

#5. 最危险的边界是什么？

最容易错在前缀下标偏移、遗漏空前缀，以及数值范围超出安全整数。 为什么问： 检查代码能否一次通过，回答要给出具体失败场景而不是只说“注意边界”。

#6. 复杂度还能优化吗？

先看瓶颈来自状态数量、每次转移成本还是辅助结构操作；只有其中一项能被减少时，复杂度才可能继续下降。 为什么问： 检查你能否从成本组成出发优化，而不是机械背最优复杂度。

#7. 如果输入规模扩大或数据改成流式，方案怎么变？

要判断当前算法是否需要随机访问全部输入；若只依赖有限历史状态，可以做滚动或在线维护，否则需要分块、外存或调整数据结构。 为什么问： 检查算法理解能否迁移到工程约束。

#8. 有哪些替代解法，如何取舍？

可以从暴力枚举开始，再比较排序、哈希、搜索或动态规划等方案；取舍标准是时间、空间、是否修改输入和实现复杂度。 为什么问： 检查横向比较能力。回答要说明替代方案为什么更慢或在什么条件下更合适。

#常见错误回答

• “这题套 前缀和 模板即可”：只有结论，没有说明题目性质和排除依据。
• 逐行朗读代码：没有建立状态、不变量和正确性因果链。
• 只报 O(n) 或 O(n²)：没有解释每个状态被访问多少次，也容易漏掉排序或辅助结构。
• 把示例能跑通当成证明：示例只能帮助检查，不能覆盖重复值、空输入和极端边界。

#可迁移总结

• 核心关键词：前缀和、状态定义、不变量、推进规则、边界。
• 一句话本质：预处理从起点到各位置的累计量，把区间查询转成两个前缀状态之差。
• 思考链路：识别题目性质 → 定义状态 → 证明推进安全 → 确定更新时机 → 检查边界与复杂度。
• 1 分钟回答：说清题型、核心状态、推进规则和复杂度。
• 3 分钟回答：补上正确性依据、示例和两个关键边界。
• 10 分钟回答：写出代码，并比较替代方案、空间优化和工程限制。

#刷题后自测

先只回答第 1 题，再展开后续问题：

1. 不看代码，你能用一句话说出本题的不变量吗？

2. 如果把示例中的重复值、空输入或边界值换掉，哪一行代码最先受到影响？

3. 不改变正确性的前提下，你能写出一种替代方案并比较复杂度吗？