#980. 不同路径 III

• LeetCode：原题1
• 难度：困难
• 归类：栈/队列/哈希（位运算、数组、回溯、矩阵）
• 主解法：回溯

#先给结论

这道题的核心是在决策树上做选择、递归探索、撤销选择，并通过剪枝减少无效分支。面试时先说清楚“状态表示什么、为什么能排除其他候选、何时更新答案”，再写代码；只报出“用 回溯”还不足以证明理解。

#题目描述

题目要求完成“不同路径 III”。输入包括 grid（integer[][]），需要返回 integer。完整限制以原题为准，解题时重点利用这些特征：位运算、数组、回溯、矩阵。

示例：

输入：[[1,0,0,0],[0,0,0,0],[0,0,2,-1]]
输出：2
解释：我们有以下两条路径：
1. (0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,3),(1,2),(1,1),(1,0),(2,0),(2,1),(2,2)
2. (0,0),(1,0),(2,0),(2,1),(1,1),(0,1),(0,2),(0,3),(1,3),(1,2),(2,2)

#问题本质

在决策树上做选择、递归探索、撤销选择，并通过剪枝减少无效分支。需要解决的不是某个 API 的用法，而是如何用最少状态描述“已经处理什么、还剩什么”，并证明状态推进不会漏解。

#数据结构与因果链

1. 输入进入算法后，先建立 回溯 所需的状态。
2. 路径保存已经作出的选择，start 或 visited 限定下一步仍可选择的候选。
3. 枚举候选，加入路径后递归，递归返回后撤销，再尝试下一个候选。
4. 满足终止条件后，把已经验证的状态转换成输出。

始终保持：每次递归入口的路径与辅助状态严格对应，返回父层前必须恢复现场。

#示例推演

输入：[[1,0,0,0],[0,0,0,0],[0,0,2,-1]]
输出：2
解释：我们有以下两条路径：
1. (0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,3),(1,2),(1,1),(1,0),(2,0),(2,1),(2,2)
2. (0,0),(1,0),(2,0),(2,1),(1,1),(0,1),(0,2),(0,3),(1,3),(1,2),(2,2)

#边界与陷阱

• 空输入、单元素、重复元素以及不存在合法答案时，要有明确返回值。
• 最容易错在结果未复制、撤销状态遗漏，以及排列与组合的起始下标混淆。
• 如果实现会修改输入，面试时要主动说明；如果不能修改，则复制数据或改用额外结构。

#代码实现

参考实现来源：doocs/leetcode，按本文结构重新整理；原项目采用 CC BY-SA 4.0。

#JavaScript 实现

var uniquePathsIII = function (grid) {
    const m = grid.length;
    const n = grid[0].length;
    let [x, y] = [0, 0];
    let cnt = 0;
    for (let i = 0; i < m; ++i) {
        for (let j = 0; j < n; ++j) {
            if (grid[i][j] === 0) {
                ++cnt;
            } else if (grid[i][j] === 1) {
                [x, y] = [i, j];
            }
        }
    }
    const vis = Array.from({ length: m }, () => Array(n).fill(false));
    vis[x][y] = true;
    const dirs = [-1, 0, 1, 0, -1];
    const dfs = function (i, j, k) {
        if (grid[i][j] === 2) {
            return k === cnt + 1 ? 1 : 0;
        }
        let ans = 0;
        for (let d = 0; d < 4; ++d) {
            const x = i + dirs[d];
            const y = j + dirs[d + 1];
            if (x >= 0 && x < m && y >= 0 && y < n && !vis[x][y] && grid[x][y] !== -1) {
                vis[x][y] = true;
                ans += dfs(x, y, k + 1);
                vis[x][y] = false;
            }
        }
        return ans;
    };
    return dfs(x, y, 0);
};

#代码与思路对照

读代码时应把每个判断还原成“它排除了什么状态或完成了哪次转移”，而不是只记变量名。

#复杂度分析

• 时间复杂度：O(3^{m × n})。
• 空间复杂度：O(m × n)。

复杂度必须按“状态数量 × 每个状态处理成本”分析；如果存在排序、堆操作、递归深度或结果数组，需要单独计入，不能只看最外层循环。

#面试官递进追问

#1. 为什么本题适合 回溯？

因为在决策树上做选择、递归探索、撤销选择，并通过剪枝减少无效分支。 为什么问： 检查你是在识别性质，还是只凭题号背模板。回答要抓住可被利用的单调性、重复子问题或数据结构约束。

#2. 代码维护的核心状态是什么？

路径保存已经作出的选择，start 或 visited 限定下一步仍可选择的候选。 为什么问： 状态定义决定代码是否可证明。回答时要让每个变量都能对应到题意。

#3. 这个实现依赖什么不变量？

每次递归入口的路径与辅助状态严格对应，返回父层前必须恢复现场。 为什么问： 不变量比逐行复述代码更能证明理解，回答要说明它在初始化、推进和结束时都成立。

#4. 为什么这样推进不会漏掉答案？

枚举候选，加入路径后递归，递归返回后撤销，再尝试下一个候选，被跳过的状态已经由题目性质证明不可能更优或已经处理完成。 为什么问： 检查正确性证明，重点不是“指针这样写”，而是“为什么可以排除”。

#5. 最危险的边界是什么？

最容易错在结果未复制、撤销状态遗漏，以及排列与组合的起始下标混淆。 为什么问： 检查代码能否一次通过，回答要给出具体失败场景而不是只说“注意边界”。

#6. 复杂度还能优化吗？

先看瓶颈来自状态数量、每次转移成本还是辅助结构操作；只有其中一项能被减少时，复杂度才可能继续下降。 为什么问： 检查你能否从成本组成出发优化，而不是机械背最优复杂度。

#7. 如果输入规模扩大或数据改成流式，方案怎么变？

要判断当前算法是否需要随机访问全部输入；若只依赖有限历史状态，可以做滚动或在线维护，否则需要分块、外存或调整数据结构。 为什么问： 检查算法理解能否迁移到工程约束。

#8. 有哪些替代解法，如何取舍？

可以从暴力枚举开始，再比较排序、哈希、搜索或动态规划等方案；取舍标准是时间、空间、是否修改输入和实现复杂度。 为什么问： 检查横向比较能力。回答要说明替代方案为什么更慢或在什么条件下更合适。

#常见错误回答

• “这题套 回溯 模板即可”：只有结论，没有说明题目性质和排除依据。
• 逐行朗读代码：没有建立状态、不变量和正确性因果链。
• 只报 O(n) 或 O(n²)：没有解释每个状态被访问多少次，也容易漏掉排序或辅助结构。
• 把示例能跑通当成证明：示例只能帮助检查，不能覆盖重复值、空输入和极端边界。

#可迁移总结

• 核心关键词：回溯、状态定义、不变量、推进规则、边界。
• 一句话本质：在决策树上做选择、递归探索、撤销选择，并通过剪枝减少无效分支。
• 思考链路：识别题目性质 → 定义状态 → 证明推进安全 → 确定更新时机 → 检查边界与复杂度。
• 1 分钟回答：说清题型、核心状态、推进规则和复杂度。
• 3 分钟回答：补上正确性依据、示例和两个关键边界。
• 10 分钟回答：写出代码，并比较替代方案、空间优化和工程限制。

#刷题后自测

先只回答第 1 题，再展开后续问题：

1. 不看代码，你能用一句话说出本题的不变量吗？

2. 如果把示例中的重复值、空输入或边界值换掉，哪一行代码最先受到影响？

3. 不改变正确性的前提下，你能写出一种替代方案并比较复杂度吗？